رياضيات و واقعيت

هندسه از فن مساحي كه آموزشي است عملي و تجربي سرچشمه مي گيرد. در دوران باستان كشف شد كه قضيه هاي هندسي را از طريق قياس مي توان اثبات كرد، يعني فقط كافي است كه چند قضيه اصلي انگشت شمار موسوم به اصلهاي متعارف تصديق شوند، آنگاه ديگر قضيه هاي اين دستگاه همگي به طريقي صرفاً منطقي استنتاج خواهند شد. تأثير كشف مزبور بسيار عميق بود، زيرا كه هندسه براي همه دانشهاي قياسي سرمشق قرار گرفت و به صورت چيزي شبيه «more geometrico» (سنت هندسي)،‌ شعار متفكران متعصب شد. اينك بايد ديد، چيزهايي ه در حكم موضوعهاي هندسه به شمار مي روند، چيستند؟ فيلسوفان و رياضيدانان اين مسئله را همه جانبه مورد بحث قرار داده اند و براي آن پاسخهاي متعدد ارائه كرده اند، به اين قرار كه استواري و خلل ناپذيري درستي قضيه هاي هندسي عموماً تأييد شد. تنها نكته مورد سؤال اين بود كه اين قضيه هاي مطلقاً مطمئن چگونه به دست مي آيند و به چه چيزهايي مربوط مي شوند.
بدون ترديد چنين است كه، اگر كسي اصلهاي متعارف هندسي را بپذيرد، اجباراً ديگر قضيه هاي هندسه را تصديق خواهد كرد. چون براي هر فردي كه در اساس منطقي بينديشد، رشته اين استدلالها جبري و قابل قبول است. در اين جاست كه مطلب به صورت سؤال درباره منشاء اصلهاي متعارف خلاصه مي شود. در اين اصلها صحبت چند قضيه انگشت شمار در ميان است، و اين قضيه ها راجع به مفهومهايي اند از قبيل نقطه، خط راست، سطح مستوي و غيره كه بايستي دقيقاً معتبر شناخته شوند. پس اين مفهومها مانند غالب مشهودات علمي و اطلاعات روزمره نيستند و نمي توانند منشاء تجربي داشته باشند. صحت قضيه هاي تجربي هميشه تقريبي و كم و بيش احتمالي است. از اين رو در جستجوي منبعي ديگر بايد رفت، تا اعتماد مطلق به قضيه هاي مزبور تضمين گردد. كانت (1781) معتقد است كه فضا و زمان قالبهاي فكري قبلي اند كه نسبت به هر اختياري مقدم اند، و همين قالبهايند كه چنين اختياري را اصولاً ممكن مي سازند. به اين ترتيب، موضوعهاي هندسه مفهمهاي تصوري محض اند كه از قبل شكل گرفته اند و پايه قضاوت ما را نسبت به موضوعهاي حقيقي در ضمن مشاهدات تجربي تشكيل مي دهند. سپس قضاوتي از قبيل «لبه اين خط كش راست است» از قياس مشاهده تجربي با شكل صرفاً تصوري يك خط راست حاصل مي گردد، البته بدون آنكه تعمقي در فرايند اين قياس شده باشد. پس موضوع هندسه در واقع خط راستي است كه از تصور محض عايد مي گردد؛ بنابراين نه مفهومي است منطقي و نه شئيي است فيزيكي، بلكه از نوع سومي است كه موجوديت آن فقط از طريق اتحاد تجربه و تصور«راستي» شناسانده مي شود.
ما نمي خواهيم به خود جرأت دهيم و درباره اين آموزشها و نظريات مشابه آن قضاوت كنيم. اين سير و نظرها مقدم بر همه به حادثه فضا مربوطند كه از حدود بحث ما خارج است. در اين جا سخن بر سرفضا و زمان دانش فيزيك است كه دانسته و پيوسته هرچه آشكارتر از مشهود فكري، به عنوان منبع شناخت، روي برتافته و ملاكهاي ديگري طلب كرده است.
پس در اين جا مي بايد تصريح كنيم كه فيزيكدان در قضاوت خود درباره «لبه اين خط كش راست است» هيچگاه به «راستي» صرفاً تصوري متكي نمي شود. از نظر او فرق نمي كند كه چيزي شبيه صورت اصيل خط راست تصوري وجود داشته باشد كه با آن بتوان لبه خط كش را مقايسه كرد، يا نداشته باشد. او درست به شيوه معمول خود كه ادعاي راجع به هر موضوعي را از طريق تجربه مي آزمايد، براي اين مور هم ترجيح مي دهد كه آزمايشهايي ترتيب دهد. مثلاً به اين نحو كه پرتو نور را از يك خط سركش به سر ديگر مي فرستد و مي نگرد كه آيا خط پرتو با كليه نقاط لبه خط كش تماس پيدا مي كند يا نه (ش.1). يا اينكه مثلاً خط كش را گرد محور طولي آن مي چرخاند و در ضمن نوك مدادي را با يكي از نقاط اختياري لبه خط كش به حالت مماس قرار مي دهد؛ حال اگر نوك مداد در حين چرخاندن خط كش همچنان با لبه مماس باشد، آن وقت لبه خط كش راست خواهد بود (ش. 2).
چنانچه شيوه هاي آزموني مذكور را با يك نقد منطقي تحليل كنيم، ملاحظه خواهيم كرد كه اين شيوه ها نيز هيچ نكته اي را در مورد راستي مطلق روشن نمي كنند. در شيوه نخستين محققاً فرض بر راست بودن پرتو نور است. اما اين راستي را چگونه مي توان اثبات كرد؟ در شيون دوم فرض بر اين است كه نقاط لبه در ضمن چرخش خط كش با نوك مداد به حالت صلب با يكديگر تماس دارند، و مضافاً خط كش خود يك جسم صلب است. اينك فرض كنيم، آزمودن راستي خط كشي مطرح باشد كه مقطع آن دايره اي است و خود به حالت افقي قرار مي گيرد و لذا به علت وزنش كمي به سمت پايين خميدگي پيدا ميكند، به طوري كه اين خميدگي در ضمن چرخش نيز همچنان وجود دارد. با اين حال راستي خط كش تصديق مي شود، در صورتي كه در آن خميدگي هست. البته در اينكه خطاهايي هستند كه در جريان هر سنجش فيزيكي پيش مي آيند و به دست يك آزمايشگر ورزيده پيشگيري مي شوند، بحثي نيست. آنجه كه به ما مربوط مي شود، بيان اين مطلب است كه راست واقعي يا هر صفت هندسي از اين قبيل را فقط نسبت به صفات معين هندسي لوازم به كار برده شده (مانند راستي پرتو نور و سختي افزارها) مي توان آزمود، و نه از طريق تجربي. در صورتي كه عمليات واقعاً اجرا شده از كليه اجزاي فكر و حافظه و معرفت آزاد و عريان گردند، و فقط اين تحقيق باقي مي ماند كه: اگر 2 نقطه لبه خط كش روي خط پرتو بيفتند، اين يا هر نقطه ديگر لبه نيز روي خط پرتو مزبور خواهد افتاد؛ چنانچه 2 نقطه خط كش بر دو نقطه جسمي منطبق گردند، عين همين وضع براي اين يا آن نقطه سوم نيز صادق خواهد بود. پس در واقع انطباقهاي فضايي يا مناسبتر انطباقهاي فضا - زماني است كه تحقيق مي شوند،يعني تلاقي دو نقطه قابل تميز مادي در زمان واحد و در محل واحد، بقيه همه تأملات فكري است، حتي اين نظر كه راست بودن خط كشي از طريق آزماش مي توان تحقيق كرد.
يك بررسي انتقادي علوم دقيقه نشان مي دهد كه كليه محقق كردنها در واقع از چنين انطباقهايي جاري مي شوند. هر اندازه گيريي در نهايت امر شناسايي حالتي است كه عقربه يا علامتي در اين يا در آن لحظه زماني بر اين يا بر آن خط درجه بندي منطبق مي گردد. اعم از اينكه اندازه گيري مربوط باشد به طول، زمان، به نيرو، به جرم، به جريان الكتريكي، به قابليت تركيب شيميايي و يا به هر كميت ديگر: واقعاً فقط مسئله تشخيص انطباقهاي فضا زماني مطرح است. و اين انطباقها را مينكوفسكي نقطه هاي جهاني مي نامد كه بر اثر تلاقي خطهاي جهاني در گوناگوني فضا - زمان نشانه گذاري مي شوند. و فيزيك علم ارتباط بين چنين نقطه هاي جهاني نشانه گذاري شده است.
ورزيدن منطقي اين ارتباطها خود يك نظريه رياضي است. اين نظريه هر قدر هم كه پيچيده و دشوار بوده باشد، در نهايت هدفش هميشه اين است كه ارتباطهاي واقعاً ملحوظ را به عنوان حاصل ضرورت فكري چند مفهوم اساسي و تعدادي قضيه اصلي نمايش دهد. بعضي احكام مربوط به انطباقها در قالب قضيه هاي هندسي ظاهر مي شوند. در اين ميان هندسه به عنوان يك آموزش قابل استعمال در جهان واقعي هيچ مقام خاصي را در برابر رشته هاي ديگر دانشهاي فيزيكي احراز نمي كند. محتواي مفاهيم هندسي به طرزي مشابه به رفتار واقعي اشياء طبيعي مشروط است، درست مانند مفهومهاي شاخه هاي ديگر فيزيكي.
اينكه هندسه اقليدسي اعتبار خود را تاكنون كاملاً حفظ كرده است، از طرفي به علت وجود پرتو نور است كه رفتارش با دقت زياد با طرح خط راست هندسه اقليدسي تطبيق مي كند، واز طرف ديگر به سبب وجود جسمهاي تقريباٌ صلب كه با شرايط اصلهاي متعارف چنين هندسه اي وفق مي دهند. ولي براي اعتبار دقيق و مطلق هندسه از ديدگاه فيزيكي نمي توان يك معناي قابل فهم قائل شد.
به اين ترتيب، اگر از يك نقطه نظر معين بنگريم، موضوعهاي واقعاً به كار برده شده در جهان چيزهاي هندسه عملي را خود همين چيزها تشكيل مي دهند. خط راست مبتني است بر تعريف پرتو نور، يا مسير لخت، يا مجموع نقطه هاي متعلق به يك جسم صلب كه در ضمن گردش حول دو نقطه ثابت حركت نكنند، و بر اساس تعريف يا يك چيز فيزكيي از اين نوع. اينكه آيا خط راست به اين نحو تعريف شده اي داراي همان صفاتي بوده باشد كه هندسه اقليدسي مدعي است، فقط بر اساس تجربه قابل تشخيص خواهد بود. از جمله اين صفات هندسي اقليدسي همان حكم قضيه مجموع زاويه هاي مثلث است كه به توسط گوس از طريق تجربي امتحان شد. و ما حقانيت اين آزمايش را بايد تصديق كنيم. ديگر صفت مميزه هندسه دو بعدي به وسيله خود به خود بسته شدن شش ضلعي رشته اي (ص. 349) تشريح شد. فقط تجربه مي تواند نشان دهد كه نوعي تحقق بخشيدن به خط راست، به يكاي طول و غيره به وسيله چيزهاي فيزيكي، آيا چنين صفتي را همراه دارد يا نه. هندسه اقليدسي در مورد اولي، آزمايش گوس، نسبت به اين تعريفها قابل استعمال است، ولي در مورد دومي نه.
اينك اينشتين مدعي است: كليه تعريفهاي متداول مربوط به مفهومهاي پايه اي پيوستار فضا - زمان به وسيله خطكشها، ساعتها، پرتوهاي نور، مسيرهاي لخت البته در حوزه هاي كوچك محدود براي قوانين هندسه اقليدسي و به همين نحو براي جهان مينكوفسكي صدق مي كنند، ولي د رحوزه هاي وسيع نه. علت اينكه تاكنون به اين نكته نرسيده اند، فقط اندك بودن اختلاف بين دو حالت است. اينك براي حل مسئله به يكي از دو طريق زير مي توان متوسل شد: يا صرف نظر شود از اين كه خط راست را به وسيله پرتو نور، طول را به وسيله جسم صلب و غيره تعريف كنند و به منظور حفظ استحكام و تماميت دستگاه هندسه اقليدسي، مفهومهاي پايه اي اين هندسه را از راههاي ديگري تحقق بخشند؛ يا اينكه هندسه اقليدسي به كلي كنار گذاشته شود و يك آموزش كلي تر براي فضا ارائه گردد.
اينكه طريق اول جدي به نظر نمي رسد، براي كسي كه با ساختمان علم بيگانه نباشد كاملاً روشن است، ولي اثبات هم نمي توان كرد كه انتخاب چنين راهي غيرممكن بوده باشد. در اين جا منطق نيست كه حكم كند، بلكه ذوق و بينش علمي است كه تصميم مي گيرد. هيچ راه منطقي از حالتهاي واقعي به حالتهاي نظري وجود ندارد: كارخلاق دراين مورد، مانند همه موارد، از منبع گمان و تصور و ذوق تراوش مي كند، و ملاك درستي، پيشبيني درست درباره فرايندهايي است كه هنوز پژوهش نشده اند يا نخست در آينده بايد پژوهش بشوند. خواننده اگر لحظه اي نزد خود فرض كند: پرتو نور در فضاي خالي عالم «راستترين» خطي نيست كه در نظر گرفته مي شود، و پيامد اين فرض را به تصور آورد، آنگاه پي خواهد برد كه چرا اينشتين راه ديگري را انتخاب كرده است.
از آنجا كه هندسه اقليدسي ناتوان است، او مي توانست يك راه معين غيراقليدسي را برگزيند. هستند دستگاه هاي تصوري تكميل شده از اين قبيل كه به دست لوبا چفسكي (1) (1829)، بوليايي (2) (1832)، ريمان (1854) هلمهولتز (1866) و ديگران بنا شده اند، بدين منظور كه امتحان شود كه، آيا برخي اصلهاي متعارف معين اقليدسي از ضرورت فكري مابقي نتيجه مي شوند. اگر چنين مي بود، و جاي اين اصلهاي متعارف را به اصلهاي متعارف جديد مي دادند، جبراً با تضادهاي منطقي مواجه مي شدند. چنانچه يك چنين هندسه غير اقليدسي خاص را به منظور توصيف جهان فيزيكي اختيار مي كردند، معنايش «دفع فاسد به افسد» مي بود. اما اينشتين از راهي ديگر رفت، او برگشت به پديده اصلي فيزيكي، به انطباق فضا - زماني، به رويداد، به نقطه جهاني.

مجموع نقطه هاي جهاني نشانه گذاري شده آن چيزي است كه واقعاً قابل شناسايي است. پيوستار فضا زماني چهاربعدي خود در اصل فاقد ساختار است و نخست ارتباطهاي واقعي نقطه هاي جهاني در آن كه به تجريد آشكار مي شوند، اندازه گيريها هندسه را در آن ممكن مي سازند. پس در جهان واقعي با همان كيفيتهايي برمي خوريم كه هم اكنون در ضمن بررسي هندسه سطح ملاحظه كرده ايم. از اين رو شيوه عمليات رياضي در اين هر دو يكسان است.
ابتدا مختصات گوسي در جهان چهار بعدي وارد مي شود. شبكه اي مي سازيم مركب از نقطه هاي جهاني نشانه گذاري شده، يعني فضايي را پر از چنان ماده اي به نظر مي آوريم كه آزادانه متحرك باشد، به طوري كه بتواند خود را بچرخاند و تغيير شكل دهد، اما به هم پيوستگي خود را هماره حفظ كند - مثلا ماده اي كه آن را اينشتين به «مولوسك» (3) تشبيه مي كند. سپس سه شار خطي متقاطع را از درون اين ماده مي گذرانيم و اين شارها را با حرفهاي z ،y ،x متمايز مي كنيم. اينك چنين تصور مي آوريم كه دستگاه ساعتي در هر گوشه اي از روزنه هاي شبكه قرار گرفته باشد، دستگاه ساعتهايي با طرز كار كاملاً اختياري، فقط به صورتي كه اختلاف t هاي اعلان شده ساعتهاي محلي همجوار كوچك باشد. پس چنين مجموعه اي كلاً يك دستگاه مرجع غير صلب است، يعني يك «مولوسك مرجع» است. مطابق همين دستگاه در جهان چهار بعدي، دستگاهي است گوسي چهار بعدي كه تشكيل مي شود از يك شبكه داراي 4 شار سطحي شماره گذاري شده t ،z ،y ،x.
كليه دستگاه هاي مرجع صلب متحرك طبعاً از نوع خاص همين دستگاه مرجع اند كه تغيير شكل مي دهد. ولي از ديدگاه عمومي ما بي معناست كه صلابت را در حكم چيزي قبلا داده شده منظور كنيم. همچنين تفكيك فضا و زمان امري است كاملاً اختياري؛ چون در مقامي كه طرز كار ساعتها كاملاً اختياري و فقط مدام متغير فرض مي شود، فضا به عنوان مجموع كليه نقطه هاي جهاني «همزمان» ديگر يك حقيقت فيزيكي نيست.
با انتخاب ديگر مختصات گوسي، ديگر نقطه هاي جهاني اند كه همزمان خواهند بود.
اما آنچه كه در ضمن گذار از يك دستگاه مختصات گوسي به ديگر دستگاه تغيير مي كند، همانا نقطه هاي تقاطعي خطهاي جهاني اند، يعني نقطه هاي جهاني نشانه گذاري شده كه در نهايت همان انطباقهاي فضا زماني باشند. همه واقعيتهاي قابل شناسايي فيزيك عبارتند از ارتباطهاي كيفي وضع اين نقطه هاي جهاني، پس در ضمن تعويض مختصات گوسي تغيير نمي كنند.
يك چنين تبديل مختصات گوسي پيوستار فضا - زماني به معناي عبور از يك دستگاه مرجع است به دستگاهي ديگر كه به دلخواه تغيير يافته و متحرك باشد.
پس مطلب، فقط به منظور پذيرش جيزهايي واقعاً قابل شناسايي در قوانين طبيعت، منجر به اين مي شود كه قوانين مزبور در برابر تبديلات اختياري مختصات گوسي t ،z ،y ،x به 't' ،z' ،y' ،x هاي ديگر بايستي ناوردا (تغييرناپذير) باشند. اين اصل موضوع محققاً اصل نسبيت عام را در برگرفته است، جون آن تبديلاتي كه انتقال از يك دستگاه مرجع سه بعدي را به يك دستگاه متحرك دلخواه محقق مي كند، همچنين در جمع كليه تبديلات z ،y ،x قرار مي گيرند؛ ولي صورت قضيه در آنجا كه تغييرشكلهاي دلخواه فضا و زمانرا شامل مي گردد، از اين هم گسترده تر است.
بدين وسيله پايه بررسي عمومي پيوستار فضا - زمان را به يك طرز نسبيتي كامل به دست آورديم. اينك بحث بر سر تلفيق اين روشهاي رياضي است با ملاحظات فيزيكي اي كه قبلاً بيان كرديم و از آنها در اصل هم ارزي تلي ساختيم.
اكنون وضع ما در برابر جهان چهار بعدي به همان صورتي است كه مساح در برابر جنگل ناهموار داشته است، يعني پس از آنكه شبكه مختصات خود را پهن كرده، ولي اندازه گيري با متر مساحي را آغاز نكرده بود. ما نيز بايد فكر يك متر مساحي چهاربعدي باشيم.
اينك اصل هم ارزي براي چنين منظوري مفيد است. مي دانيم كه انتخاب دستگاه مرجع مناسب، هميشه امكان دسترسي به يك حوزه جهاني به اندازه كافي كوچك و فاقد ميدان گرانش وجود دارد. بسيار هستند آن گونه دستگاههاي مرجعي كه نسبت به يكديگر به خط راست و يكنواخت حركت مي كنند، و براي آنها قوانين نسبيت خاص صادق است. رفتار خط كشها و ساعتها چنان است كه تبديلات لورنتز بيان مي كند؛ پرتوهاي نور و حركتهاي لخت خطهاي جهاني راستند. پس در اين حوزه جهاني كوچك، مقدار

يك ناورداي صرفاً بدون معناي فيزيكي است. يعني چنانچه اتصال دهند به مبداء O (كه در درون حوزه كوچك فرض شده است) با نقطه جهاني يك خط جهاني فضاگونه باشد، s طول در دستگاه مرجعي خواهد بود كه در آن اين هر دو نقطه همزمانند. اما اگر خط جهاني زمان گونه باشد، خواهد بود، به طوري كه τ اختلاف زماني رويدادهاي O و P در دستگاه مختصاتي است كه در آن دو رويداد در محلي واقع مي شوند. s يا دوري چهار بعدي به وسيله ی خطكشها و ساعتها مستقيماً قابل اندازه گيري است و پس از وارد كردن مختصات موهومي ، از لحاظ صوري همتاي فاصله هاي اقليدسي در فضاي چهار بعدي است:

واقعيت اعتبار نظريه نسبيت خاص در جزئيات مطابق است با قابليت استعمال هندسه اقليدسي در مساحتهاي به اندازه كافي كوچك سطحهاي خميده. ولي نيازي نيست كه هندسه اقليدسي و نيز نظريه نسبيت خاص به همين منوال در كليات صدق كنند. اصولاً نيازي نيست كه خطهاي جهاني راست وجود داشته باشند، بلكه فقط راستترين خطها كه خطهاي ژئودزي باشند لازمند.
دنباله بررسي جهان چهار بعدي به موازات نظريه سطحها پيش مي رود. ابتدا بايد روزنه هاي يك شبكه اختياري مختصات گوسي با كمك فاصله s چهار بعدي اندازه گرفته شوند. ما طرز كار را بر يك هامون دو بعدي xt (ش. 3) توضيح مي دهيم. يك روزنه شبكه مختصات فرضاً به وسيله خطهاي x = 8 ، x = 7 و t = 4 ، t = 3 محدود شده است. دو پرتو نور خروجي از گوشه هاي t = 3 ، x = 7 مطابقند با دو خط جهاني متقاطع با زاويه 〖90〗^° ، به طوري كه اين دو خط را در يك حوزه كوچك مي توانيم به عنوان خطهاي راست تلقي و به همين صورت ترسيم كنيم. شكل نشان مي دهد كه منحنيهاي هذلولي معيار F=±1 از بين اين دو خط پرتو عبور مي كنند. اين منحنيها مطابقند با دايره اي كه در هندسه معمولي از نقطه هاي به فاصله متساوي با تشكيل مي شوند.
** توضیح تصویر:
ش.3- متریک در مجاورت نقطه جهانی x=7، t=3
به اين ترتيب دستور را نظريه سطح براي ناورداي s به صورت زير بيان مي كند:

به طوري كه ξ و عبارتند از مختصات گوسي هر نقطه p منظور شده از روزنه.
اينك با توجه به تساوي ، خواهيم داشت

يا با حاصل ضربهاي به اشكال ديگر (اينك يعني يعني ):

ضريبهاي متريك ناميده مي شوند و كاملاً ازلحاظ فيزيكي قابل توجيه اند. مثلا براي است، به اين معنا كه √(g_11 ) طول واقعي ضلع فضايي روزنه در دستگاه مرجعي است كه ضلع مزبور نسبت به آن ساكن باشد.
فاصله ناورداي s بين دو نقطه كه مختصات گوسي نسبي آنها
باشند، به صورت
[1]


نمايش داده مي شود؛ اين دستو را مي توان صورت تعميم يافته قضيه فيثاغورس براي جهان چهار بعدي ناميد.